Задача 67522
|
|
 |
Условие
Дан треугольник $ABC$. Пусть $CL$ — его биссектриса, $W$ — середина дуги $BCA$, а $P$ — проекция ортоцентра на медиану, проведённую из вершины $C$. Окружность $CPW$ пересекает прямую, проходящую через $C$ и параллельную $AB$, в точке $Q$. Докажите, что $LC=LQ$.Решение 1
Известно, что точка $P$ — пересечение медианы с дугой $AHB$. Пусть $R$ — середина этой дуги, $M$ — середина $AB$. Точки $P''$ и $R'$, симметричные $P$ и $R$ относительно $M$, лежат на окружности $ABC$; отсюда $MP\cdot MC=MP'\cdot MC=MR'\cdot MW=MR\cdot MW$, то есть $R$ лежит на окружности $CPW$.Далее, поскольку $CW\perp CL$, луч $CL$ пересекает окружность $CPRW$ в точке $U$, диаметрально противоположной $W$, откуда $UR\parallel BC$. Тогда $ML$ — средняя линия в треугольнике $RR’U$, то есть $L$ — середина $R'U$. Поэтому во вписанной трапеции $RUCQ$ общий серединный перпендикуляр к $RU$ и $CQ$ проходит через $L$, откуда и следует требуемое.
Решение 2
Пусть $Q'$ — такая точка на прямой $CQ$, что $CQ'=CL$. Докажем, что $C$, $P$, $Q'$, $W$ лежат на одной окружности. Рассмотрим композицию инверсии с центром $C$ и симметрии относительно $CL$, меняющую местами точки $A$ и $B$. Она также меняет местами прямую $AB$ и описанную окружность треугольника, поэтому $L$ переходит в середину $U$ дуги $AB$, $W$ в основание $K$ внешней биссектрисы угла $C$, а точка Шалтая $P$ в точку пересечения касательных в точках $A$ и $B$. Далее, прямая $CQ$ переходит в касательную к описанной окружности в точке $C$, а окружность с центром $L$, проходящая через $C$ в серединный перпендикуляр к $CU$ (поскольку образы точек $C$ и $U$ инверсны относительно этой окружности). Следовательно, $Q'$ переходит в точку пересечения касательных в точках $C$ и $U$.Эта точка вместе с образом точки $P$ и точкой $K$ лежат на одной прямой — поляре точки $L$ относительно окружности $ABC$, откуда и получаем искомое утверждение.
