Задача 67558

Темы:    [ Теорема Паскаля ] [ Изогональное сопряжение ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Волокитин Е.

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные $BD$ и $CD$ и пересекающие $AC$ и $AB$ соответственно в точках $E$ и $F$. Докажите, что прямая $EF$ делит отрезок $DH$ пополам.

Решение 1

Середина отрезка $DH$ является центром равносторонней гиперболы $ABCDH$. Пусть $B'$, $C'$ – точки этой гиперболы, противоположные $B$, $C$ соответственно. Тогда $HB'\parallel BD$, $HC'\parallel CD$ и, применяя теорему Паскаля к шестиугольнику $ABB'HC'C$, получаем утверждение задачи.

Решение 2

Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Заметим, что $\angle EHF = \angle A$, поэтому у точки $H$ есть изогонально сопряженная точка в четырехугольнике $BFEC$ и она совпадает с $O$. Пусть $X$ и $C_1$ проекции точки $H$ на стороны $BF$ и $EF$ соответственно. Обозначим через $M$ проекцию точки $O$ на сторону $EF$, а через $C'$ середину отрезка $CH$. Тогда точки $M$, $C'$, $X$, $C_1$ лежат на окружности девяти точек треугольника $ABC$, так как педальные окружности точек $O$ и $H$ в четырехугольнике $BEFC$ совпадают. Из леммы Фусса получаем, что $FH \parallel C'M$, а значит, после гомотетии с центром в $H$ и коэффициентом 2 точка $M$ перейдет в точку $D$.

Решение 3

Пусть $H_b$, $H_c$ – точки пересечения высот треугольника $ABC$ с описанной окружностью; $Q_b$, $Q_c$ – проекции $D$ на $AC$, $AB$; $D_b$, $D_c$ – пересечения этих перпендикуляров с описанной окружностью; $P_b$, $P_c$ – точки пересечения этих перпендикуляров с высотами. Заметим, что $BDD_bH_b$ – равнобокая трапеция, а значит, $\angle DBH_b = \angle EH_bH = \angle EHH_b$, поэтому $HE\parallel BD$ и точка $E$ лежит на прямой $H_bD_b$. Аналогично $F$ лежит на $H_cD_c$. Применяя теорему Паскаля к шестиугольнику $H_bD_bDACH_c$, получаем, что прямая $EP_b$ проходит через точку пересечения $AD$ и $H_bH_c$. Аналогично, через эту точку проходит прямая $P_cE$. Тогда по теореме Дезарга треугольники $FP_cQ_c$ и $EP_bQ_b$ перспективны, но $P_bP_c$ проходит через середину $DH$ как диагональ параллелограмма $HP_bDP_c$, а $Q_bQ_c$ – как прямая Симсона точки $D$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2025
класс
Класс	9
задача
Номер	9.4