Задача 67611

Тема:    [ Симметричная стратегия ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

Условие

Автор: Смирнова Л.

На столе лежат $11$ арбузов массами $1$, $2$, $3$, ..., $11$ кг. Алёна и Богдан раскладывают арбузы в четыре пакета; каждый пакет выдерживает $14$ кг, а от большего веса рвётся. Они по очереди выбирают арбуз со стола и кладут его в любой из пакетов так, чтобы пакет не порвался. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает Алёна. Кто может обеспечить себе победу, как бы ни играл другой?

Решение

Покажем, как Алёна может обеспечить себе победу. Первым ходом она положит в один из пакетов арбуз массой 1 кг. Оставшиеся 10 арбузов Алёна мысленно разобьёт на пары с суммой масс 13: 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7. Далее, какой бы арбуз ни взял Богдан и куда бы его ни положил, Алёна будет класть парный арбуз в тот же пакет. Тогда после хода Алёны в этот пакет уже нельзя ничего положить: в нём либо 13 кг (если до хода Богдана пакет был пустой), либо 14 кг (если в нём был арбуз 1 кг), а любой из оставшихся арбузов весит не меньше 2 кг.

Таким образом, после первого хода Алёны и ещё 4 пар ходов не останется ни одного пакета, в который ещё можно положить арбузы – Богдан не сможет сделать ход.

Ответ

Алёна.

Замечания

На Турнире городов 2026 года задача предлагалась в такой формулировке:
Имеется $11$ арбузов массами $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $11$ кг. Оля и Коля раскладывают арбузы в четыре пакета; каждый пакет выдерживает $14$ кг, а от большей массы рвётся. Они по очереди выбирают любой арбуз и кладут его в любой из пакетов так, чтобы пакет не порвался. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает Оля. Кто может гарантировать себе победу, как бы ни играл другой?

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2026
Номер	89
класс
Класс	9
задача
Номер	3
олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	47
Дата	2025/2026
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	3