|
|
 |
Условие
На столе лежат $11$ арбузов массами $1$, $2$, $3$, ..., $11$ кг. Алёна и Богдан раскладывают арбузы в четыре пакета; каждый пакет выдерживает $14$ кг, а от большего веса рвётся. Они по очереди выбирают арбуз со стола и кладут его в любой из пакетов так, чтобы пакет не порвался. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает Алёна. Кто может обеспечить себе победу, как бы ни играл другой?Решение 1
Покажем, как Алёна может обеспечить себе победу. Первым ходом она положит в один из пакетов арбуз массой $1$ кг. Оставшиеся $10$ арбузов Алёна мысленно разобьёт на пары $\{ 2 ; 11 \}$, $\{ 3 ; 10 \}$, $\{ 4 ; 9 \}$, $\{ 5 ; 8 \}$, $\{ 6 ; 7 \}$; сумма масс в каждой паре $13$ кг.Пусть Богдан своим первым ходом положит арбуз массой $k_{1}$ в какой-то пакет. Тогда Алёна в свой ход положит парный к $k_{1}$ арбуз (с массой $13 - k_{1}$) в тот же пакет. После такой пары ходов в этот пакет добавилось $13$ кг, и теперь в нём либо $13$ кг (если до хода Богдана пакет был пустой), либо $14$ кг (если в нём был арбуз $1$ кг). В любом случае в этот пакет больше не поместится ни один из оставшихся на столе арбузов.
Пусть своим вторым ходом Богдан положит арбуз массой $k_{2}$ в какой-то из трёх оставшихся пакетов. Тогда Алёна опять положит арбуз с массой $13 - k_{2}$ в этот же пакет. Аналогично, в этом пакете теперь либо $13$ кг, либо $14$ кг, и больше в этот пакет ребята ничего не смогут положить.
Аналогично на следующей паре ходов ребята наполнят третий пакет арбузами $k_{3}$ и $13 - k_{3}$, а на следующей – наполнят четвёртый пакет арбузами $k_{4}$ и $13 - k_{4}$.
После этого наступит ход Богдана. Но он не может сделать ход, потому
что ни в одном из пакетов не осталось более $1$ кг свободного
места. Значит, Алёна выигрывает.
Решение 2
Покажем, как Алёна может обеспечить себе победу. Первым ходом она положит в один из пакетов арбуз массой 1 кг. Оставшиеся 10 арбузов Алёна мысленно разобьёт на пары с суммой масс 13: 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7. Далее, какой бы арбуз ни взял Богдан и куда бы его ни положил, Алёна будет класть парный арбуз в тот же пакет. Заметим, что в этот пакет уже нельзя ничего положить: в нём либо 13 кг (если до хода Богдана пакет был пустой), либо 14 кг (если в нём был арбуз 1 кг), любой из оставшихся арбузов весит не меньше 2 кг.
Таким образом, после первого хода Алёны и ещё 4 пар ходов не останется ни одного пакета, в который ещё можно положить арбузы – Богдан не сможет сделать ход.
Ответ
Алёна.Замечания
На Турнире городов 2026 года задача предлагалась в такой формулировке:Имеется $11$ арбузов массами $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $11$ кг. Оля и Коля раскладывают арбузы в четыре пакета; каждый пакет выдерживает $14$ кг, а от большей массы рвётся. Они по очереди выбирают любой арбуз и кладут его в любой из пакетов так, чтобы пакет не порвался. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает Оля. Кто может гарантировать себе победу, как бы ни играл другой?
