Задача 67613
|
|
 |
Условие
Существует ли бесконечное множество $S$, состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных $x$ и $y$ из $S$ найдётся $z$ из $S$ (возможно, совпадающее с $x$ или $y$), для которого $x + y + z$ – квадрат натурального числа?Решение
Рассмотрим множество $S$, состоящее из чисел $1$, $2^2$, $2^4$, $2^6$ и т.д., то есть из всех чётных степеней двойки. Очевидно, все они являются квадратами натуральных чисел.Проверим, что для любых двух различных чётных степеней двойки можно подобрать третью (возможно, совпадающую с какой-то из этих двух) так, чтобы их сумма оказалась полным квадратом.
Пусть $x = 2^{2m}$ и $y = 2^{2n}$, причём $n > m$. Возьмём в качестве $z$ число $2^{2(2n-m-1)}$. Тогда
$$ x + y + z =
2^{2m} + 2^{2n} + 2^{2(2n-m-1)}
= 2^{2m} + 2 \cdot 2^{m} \cdot 2^{2n-m-1} + 2^{2(2n-m-1)}
= (2^{m} + 2^{2n-m-1})^2.
$$
Ответ
Существует.Замечания
На Турнире городов 2026 года задача предлагалась в следующей формулировке:Существует ли такое бесконечное множество $S$ натуральных чисел, что для любых двух различных $x$ и $y$ из $S$ найдётся $z$ из $S$ (не обязательно отличное от $x$ и $y$), для которого $x^2+y^2+z^2$ будет точным квадратом?
