Задача 73548

Темы:    [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ] [ Подсчет двумя способами ] [ Неравенства с модулями ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Условие

Если разность между наибольшим и наименьшим из n данных вещественных чисел равна d, а сумма модулей всех n(n – 1)/2 попарных разностей этих чисел равна s, то

(n – 1)d £ s £ n²d/4.

Докажите это.

Решение

Решение. Нанесем точки a₁, a₂, ...a_n на числовую ось. Тогда d – расстояние между крайними из этих точек, самой левой и самой правой, а s=_{i |ai-aj|} – сумма всех попарных расстояний между этими точками. Можно, очевидно, считать, что точки обозначены через a₁, a₂, ...a_n в порядке возрастания: a₁ a₂ ... a_n (рис.5). Обозначим расстояние между соседними точками a_k и a_k+1 через d_k ( k=1, 2 , ... , n-1 ). Очевидно,

d=d₁+d₂+...d_n-1.
Выразим теперь s через величины d_k . Для этого заменим в сумме s длину каждого отрезка |a_i-a_j| суммой тех d_k , из которых он состоит: |a_i-a_j|=d_i+d_i+1+...d_j-1 . Ясно, что d_k входит в те отрезки, у которых левый конец лежит в одной из точек a₁, ...a_k , а правый– в одной из точек a_k+1, ...a_n , т.е. в общей сложности d_k входит в сумму k(n-k) раз. Поэтому

Теперь доказываемые утверждения следуют из двух совсем простых неравенств: для всех k=1, ...n-1 1) k(n-k) n-1 kn-k²-n+1 0 (k-1)(n-k-1) 0 ; 2) k(n-k) n²/4 n²-4nk+4k² 0 (n-2k)² 0 . Пользуясь этими оценками, получаем

Интересно выяснить еще, являются ли указанные в условии задачи оценки точными, нельзя ли, скажем, вместо n-1 поставить в левом неравенстве большее число? Для того чтобы убедиться в противном, достаточно привести пример такого случая, когда неравенство превращается в равенство (причем в обеих его частях стоят положительные числа). Такой пример легко придумать, разобравшись в нашем доказательстве: нужно расположить точки a₁, a₂, ...a_n так, чтобы все d_k , кроме первого– d₁ , равнялись нулю, т.е. взять a₁2=a₃=...a_n . Тогда s=(n-1)d₁=(n-1) d . Что касается второго неравенства s n²/4 d , то при четном n=2m в нем тоже может достигаться равенство (достаточно взять a₁=a₂= ...a_mm+1=...a2m ), a при нечетном n=2m+1 его можно несколько уточнить: нетрудно сообразить, что при нечетном n наибольшее из чисел k(n-k) равно (n-1)/2 · (n+1)/2=(n²-1)/4 (докажите это строго!); пользуясь этим вместо неравенства2), можно так же, как и выше, доказать более сильное неравенство s<(n²-1)/4 d . Равенство в нем достигается, когда a₁=...a_mm+1=...a2m+1 .

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	3
Задача
Номер	М13