Задача 73605

Темы:    [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Композиции проекций ] [ Сжимающие отображения и неподвижные точки ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 7 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Васильев Н.Б.

Пусть l₁, l₂, ..., l_n — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке X₁, X₂, ..., X_n так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой l_k в точке X_k (для любого натурального k < n), проходил через точку X_{k + 1}, а перпендикуляр, восставленный к прямой l_n в точке X_n, проходил через точку X₁.

Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.

Решение

Эту задачу можно сформулировать еще следующим образом. Пусть p_i – отображение, которое каждой точке M (на плоскости) ставит в соответствие ее проекцию на прямую l_i , т.е. p_i(M) – основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую l_i . Требуется доказать, что на прямой l₁ существует единственная точка X₁ такая, которая после n отображений

X₁ p_n X_n p_n-1 X_n-1 p_n-2 ...p₂ X₂ p₁ X₁
переходит в себя. Для произвольной точки X прямой l₁ обозначим через f(X) ту точку на прямой l₁ , в которую переходит X после n отображений p_n , p_n-1 , ... , p₁ (рис.1); это записывается так:
f=p₁ o p₂ o ...o p_n.
Выберем на каждой из наших прямых l_i начало отсчета и направление, т.е. превратим каждую из них в числовую ось (единицу масштаба мы выбираем на всех прямых одинаковой). (Мы отождествляем точку (на прямой) и соответствующее ей число– ее координату– так, что отображения p₁, p₂, ...p_n и f можем считать теперь функциями, которые каждому числу ставят в соответствие новое число.) Ниже дана подпись к рис.1 Рис.1. Отображение f: x f(x) называется произведением отображений p₄, p₃, p₂, p₁ .

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	2
Задача
Номер	М70