Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре O одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика, имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент; причём так, чтобы расстояние до точки O увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?
Ладья стоит на поле a1. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8.
Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b , а плоский угол при вершине равен α . Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по поверхности пирамиды, начинающегося и заканчивающегося в вершине основания и пересекающего все боковые рёбра пирамиды.
В стране из каждого города выходит 100 дорог и от каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт.
Докажите, что и теперь от каждого города можно добраться до любого другого.
Докажите, что существует граф с 2n вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 2, ..., n, n.
Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий – ездить в магазин за продуктами, а каждый пятый день – решать задачи по математике. (В первый день Петя сделал и первое, и второе, и третье и очень устал.) Сколько будет у Пети "приятных" дней, когда нужно будет купаться, но не нужно ни ездить в магазин, ни решать задачи? Сколько "скучных", когда совсем не будет никаких дел?
|
|
 |
Условие
Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий – ездить в магазин за продуктами, а каждый пятый день – решать задачи по математике. (В первый день Петя сделал и первое, и второе, и третье и очень устал.) Сколько будет у Пети "приятных" дней, когда нужно будет купаться, но не нужно ни ездить в магазин, ни решать задачи? Сколько "скучных", когда совсем не будет никаких дел?
Решение
Занумеруем дни числами от 0 до 89. Петя купается в дни с чётными номерами, ездит в магазин в дни с номерами, кратными 3, и решает задачи в дни, с номерами, кратными 5.
Таким образом, нам следует ответить на два вопроса:
1) сколько существует чётных чисел от 0 до 89, которые не делятся ни на 3, ни на 5;
2) сколько существует нечётных чисел от 0 до 89, которые не делятся ни на 3, ни на 5?
Ответы на эти вопросы одинаковы. Действительно, разобьём наши числа на пары с разностью 45: {0, 45}, {1, 46}, ..., {44, 89}. В каждой паре – два числа разной четности, при этом если одно из чисел пары не делится ни на 3, ни на 5, то и второе тоже.
Поэтому достаточно ответить на вопрос 1).
Заметим, что чётных чисел от 0 до 89 ровно половина, то есть 45. Из них каждое третье кратно 3 (всего 15 чисел), каждое пятое кратно 5 (9 чисел) и каждое пятнадцатое кратно 15 (3 числа). Таким образом, чётных чисел, кратных либо 3, либо 5, ровно 15 + 9 – 3 = 21 (мы вычитаем 3, так как в сумме 15 + 9 числа, кратные 15, сосчитаны дважды). Значит, интересующих нас чисел 45 – 21 = 24.
Замечания
Знатоки могут сразу применить формулу включения-исключения. Источники и прецеденты использования
