|
|
 |
Условие
Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней – треугольник.
Докажите это.
Решение 1
Допустим противное: существует удовлетворяющий условию многогранник без треугольных граней.
Рассмотрим плоские углы его граней и сосчитаем двумя способами, чему равно их среднее арифметическое.
Сгруппируем углы по граням. Поскольку у каждой грани по крайней мере четыре угла, среднее арифметическое её углов не меньше 90°. Следовательно, и среднее арифметическое всех углов не меньше 90°.
Сгруппируем их теперь по вершинам. Поскольку к каждой вершине примыкает хотя бы четыре угла, а сумма всех углов при вершине меньше 360° (см. задачу 87111), то среднее
арифметическое углов при вершине меньше 90°. Но тогда и среднее арифметическое всех углов меньше 90°. Противоречие.
Решение 2
Пусть B – количество вершин, P– ребер, а Г– граней многогранника. Поскольку к каждой вершине примыкает не менее четырёх ребер, то
P ≥ 4В : 2 = 2В (пополам надо делить потому, что каждое ребро примыкает к двум вершинам).
Аналогично, поскольку к каждой грани примыкает хотя бы четыре
ребра, P ≥ 2Г.
По формуле Эйлера 2 = B – P + Г ≤ P/2 – P + P/2 = 0. Противоречие.
Замечания
Выпуклость многогранника существенна: можно построить невыпуклый многогранник с "дыркой", у которого каждая грань четырёхугольник и в каждой вершине сходятся четыре ребра (см. рис.).
