Задача 73681

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Раскраски ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Романов А.

а) В вершинах правильного семиугольника расставлены чёрные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета,
лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольника?

в) Для каких правильных n-угольников аналогичное верно, а для каких – нет.

Решение

  а) Среди семи вершин семиугольника A₀A₁A₂A₃A₄A₅A₆ найдутся две соседние вершины с фишками одного цвета (если бы цвета чередовались, то многоугольник имел бы чётное число сторон). Пусть, например, в вершинах A₁ и A₂ стоят белые фишки.
  Существуют три вершины (A₀, A₃ и A₅), каждая из которых образует вместе с вершинами A₁ и A₂ равнобедренный треугольник. Если в одной из них стоит белая фишка, то соответствующий треугольник – искомый. Если же во всех трёх этих вершинах черные фишки, то искомый треугольник – A₃A₀A₅.

  б) См. в).

  в) Очевидно, что утвержение неверно для  n = 3, 4.  Оно неверно также для  n = 6, 8  (см. рис.). Докажем, что оно верно для всех  n ≥ 9.

  Если цвета фишек чередуются, то уже среди пяти последовательных вершин встретится требуемый равнобедренный треугольник.   Пусть для некоторой расстановки фишек в вершинах правильного n-угольника утверждение неверно и в каких-то двух соседних вершинах стоят фишки одного цвета. Можно считать, что вершины A₄ и A₅ – "белые". Тогда вершины A₃ и A₆ – "чёрные". Из равнобедренного треугольника A₃A₆A₉ заключаем, что A₉ – "белая". Из рассмотрения треугольников A₁A₅A₉ и A₅A₇A₉ следует, что A₁ и A₇ – "белые". Но тогда A₂A₅A₇ – "белый" равнобедренный треугольник. Противоречие.

Ответ

б)  Неверно.   в)  Для  n = 5,  n = 7  и  n ≥ 9.

Замечания

1. Рассуждение п. а) годится для любого правильного n-угольника с нечётным  n ≥ 5.  В частности, для  n = 13  (такая задача давалась на Московской математической олимпиаде – см. зад. 78806).

2. Можно показать, что при любом разбиении множества  {1, 2, ..., 9}  на два подмножества хотя бы в одном из подмножеств встретятся три числа, из которых одно равно полусумме двух других. В п. в) мы доказали это при дополнительном предположении, что 4 и 5 принадлежат одному подмножеству. Другие случаи разбираются аналогично.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1972
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М146