Задача 73742

Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Нагаев Н.Д.

Даны два треугольника A₁A₂A₃ и B₁B₂B₃. "Опишите" вокруг треугольника A₁A₂A₃ треугольник M₁M₂M₃ наибольшей площади, подобный треугольнику B₁B₂B₃ (вершина A₁ должна лежать на прямой M₂M₃, вершина A₂ – на прямой A₁A₃, вершина A₃ – на прямой A₁A₂).

Решение

  Будем придерживаться следующих обозначений: большая жирная буква (например, X) обозначает треугольник, большие и маленькие буквы с индексами 1, 2, 3 (X₁, X₂, X₃, x₁, x₂, x₃) – вершины и противоположные им стороны этого треугольника (причём маленькие буквы обозначают также и прямые, на которых лежат стороны: X₂X₃ – прямая x₁, X₃X₁ – прямая x₂, X₁X₂ – прямая x₃.
  Пусть треугольник B как угодно расположен в плоскости треугольника A. Проведём через вершины A₁, A₂ и A₃ прямые x₁, x₂, x₃, соответственно параллельные прямым b₁, b₂ и b₃. Ясно, что треугольники X и B подобны, поскольку стороны их соответственно параллельны (см. рис. 1 и 2).

  Таким образом, мы построили треугольник X, подобный треугольнику B, стороны которого или их продолжения проходят через вершины A₁, A₂, A₃ треугольника A.
  Если вращать одновременно с одной и той же угловой скоростью прямую x₁ вокруг её точки A₁, x₂ – вокруг A₂ и x₃ – вокруг A₃, то мы получим целое семейство треугольников X. Все это семейство мы обозначим буквой S. Ясно, что каждый треугольник X семейства S подобен B. На рис. 3 видно, как меняется треугольник X при повороте прямых x₁, x₂, x₃; не очень ясно только, что происходит в "критический" момент, когда треугольник X становится совсем маленьким; мы увидим, что в некоторый момент прямые x₁, x₂, x₃ проходят через одну точку, так что треугольник X вырождается в эту точку; затем прямые x₁, x₂, x₃ приближаются к своим первоначальным положениям (это происходит, когда каждая из них повернётся на угол π).

  Выясним более точно, как устроено семейство S. Заметим, что, когда две прямые равномерно вращаются вокруг двух своих точек A₁ и A₂ (рис. 4), точка их пересечения P описывает окружность с центром O, для которого  ∠OA₁ A₂ = ∠OA₂A₁ = ^π/₂ – φ, где φ – постоянный угол между прямыми,
0 ≤ φ ≤ ^π/₂.
  При этом для точек P по одну сторону от прямой A₁A₂ угол A₁PA₂ равен φ, а по другую –  π – φ.  Отсюда следует, что каждая из точек X₁, X₂, X₃ – вершин треугольников X – описывает окружности. Центры этих окружностей обозначим через O₁, O₂, O₃ (окружность с центром O₁ проходит через A₂ и A₃ и т.д.).
  Найдём теперь треугольник наибольшей площади. Воспользуемся тем, что все треугольники X подобны, то есть и площадь, и длина каждой стороны максимальна у одного и того же из них. Рассмотрим, например, как меняется длина стороны X₂X₃ (рис. 5). Поскольку окружности, по которым пробегают X₂ и X₃, обе проходят через точку A₁, то основания K₂ и K₃ перпендикуляров O₂K₂ и O₃K₃, опущенных на прямую x₁, – середины отрезков A₁X₂ и A₁X₃. Поэтому  X₂X₃ = 2K₂K₃.  Но длина K₂K₃ проекции отрезка O₂O₃ на прямую x₁ максимальна, тогда, когда  x₁ || O₂O₃.  Разумеется, точно так же у этого треугольника  x₂ || O₁O₂,  x₃ || O₂O₁. Отсюда ясно, как построить этот треугольник M.

  Минимальный треугольник семейства S получается, когда прямые x₁, x₂, x₃ перпендикулярны линиям центров соответствующих пар окружностей: O₂O₃, O₃O₁, O₁O₂; при этом все стороны треугольника X равны нулю. Таким образом, все три вершины треугольника X совпадают – он вырождается в точку, обозначим её C. Через эту точку C проходят все три окружности. Рисовать семейства треугольников вида S проще всего, начиная именно с окружностей: если взять произвольно три окружности, проходящие через одну точку C, обозначить отличные от C точки их попарного пересечения через A₁, A₂, A₃, то можно принять любую точку на окружности за одну из трёх вершин треугольника X, стороны которого проходят через точки A₁, A₂, A₃, а вершины лежат на наших окружностях. Заметим ещё, что при гомотетии с центром в точке C и коэффициентом 2 центры окружностей O₁, O₂, O₃ переходят в вершины M₁, M₂, M₃ максимального треугольнике семейства S (рис. 6). Таким образом, треугольник O всегда подобен B (возможен случай, когда треугольник O вырождается в точку и все три окружности совпадают).

  Мы указали выше, какой именно треугольник семейства S наибольший. Но это ещё не полностью решает задачу. Дело в том, что множество треугольников, подобных B и описанных вокруг A, не исчерпывается одним семейством S. Например, треугольник X на рис. 2 не входит в семейство S, порождённое треугольником B рис. 1. Вообще, если отразить треугольник B относительно какой-либо прямой (безразлично какой) и, исходя из полученного треугольника B', построить семейство S' треугольников, – так же, как вначале мы строили семейство S, исходя из B, – то семейства S и S' не будут содержать общих треугольников. (Окружности, связанные с семейством S', получаются из окружностей, связанных с S, симметрией относительно прямых a_i, см. рис. 7.) Таким образом, нужно найти наибольший треугольник в каждом из них и из этих двух треугольников выбрать больший.
  Оказывается, однако, что можно сразу сказать, в каком из двух семейств S и S' наибольший треугольник больше. Чтобы сделать это, а также чтобы разобраться, все ли нужные треугольники "охвачены" двумя семействами S и S', воспользуемся ориентацией треугольников. На рис. 8 черные треугольники ориентированы по часовой стрелке, красные – против. Ясно, что все треугольники семейства S имеют одну ориентацию, а все треугольники S' – противоположную. Можно доказать, что наибольший треугольник принадлежит семейству, ориентация которого совпадает с ориентацией A.

  Теперь обсудим вопрос о том, все ли треугольники, описанные вокруг A и подобные B, мы изучили. Пока что мы рассмотрели все треугольники такого вида, получающиеся из B поворотом, гомотетией и, быть может, еще симметрией относительно прямой. Это всевозможные треугольники X, которые подобны B с сохранением нумерации вершин, то есть так, что  ∠X₁ = ∠B₁,  ∠X₂ = ∠B₂,  ∠X₃ = ∠B₃.  Итак, если требовать в условии именно такого подобия (то есть подразумевать, что  ∠M₁ = ∠B₁,  ∠M₂ = ∠B₂,  ∠M₃ = ∠B₁,  то решение можно считать законченным: все множество допустимых треугольников X исчерпывается двумя семействами S и S', которые мы изучали.
  Если же допускать подобия с "перенумерацией вершин" (то есть такие, что  ∠X₁ = ∠B_i,  ∠X₂ = ∠B_j,  ∠X₃ = ∠B_k,  где  (i, j, k)  – любая перестановка из цифр 1, 2, 3), то получится не два, а 12 семейств S_ijk и S'_ijk. Вершины треугольников из этих семейств заполнят 18 окружностей. (Если B равносторонний, то семейств два; если B равнобедренный, то шесть.) На рис. 9а или 9б можно выбрать любую тройку прямых, попарно не параллельных и проходящих (по одной) через точки A₁, A₂, A₃ – обозначить их соответственно x₁, x₂, x₃ – и получится один из представителей семейства S_ijk или S'_ijk (при этом  x₁ || b_i,  x₂ || b_j,  x₃ || b_k).  Оказывается, что и из этих 12 семейств можно указать то, в котором наибольший треугольник больше, чем во всех других. Чтобы сформулировать результат, условимся обозначать вершины треугольников A и B так, что
∠A₁ ≤ ∠A₂ ≤ ∠A₃  и  ∠B₁ ≥ ∠B₂ ≥ ∠B₃  (теперь мы можем это себе позволить), и расположим треугольник B так, чтобы ориентации A и B совпадали. Тогда самый большой треугольник принадлежит семейству S₁₂₃.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1973
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М207