Условие
При каких натуральных n ≥ 2 неравенство 
выполняется для любых действительных чисел x1, x2, ..., xn, если
а) p = 1;
б) p = 4/3;
в) p = 6/5?
Решение
Заметим, что если положить в неравенстве 
несколько последних переменных xk, xk+1, ..., xn равными нулю, то получится аналогичное неравенство, соответствующее меньшему n . Отсюда следует, что если (*) выполняется (для всех x1, x2, ..., xn) при некотором n , то оно выполняется и при меньших n. Таким образом, для каждого фиксированного p существует таксе целое N(p) ≥ 2, что (*) выполнено при n < N(p) и не выполнено (для некоторых x1, x2 , ..., xn) при n ≥ N(p); возможно также, что (*) выполнено при всех n (в этом случае можно считать, что N(p) = ∞).
а) При p = 1 неравенство (*) эквивалентно очевидному неравенству 
. Значит, N(1) = ∞.
б) При p = 4/3 и n = 3 неравенство (*) эквивалентно неравенству 
а при n = 4 неравенство (*) нарушается, например, когда x1 = x4 = 2, x2 = x3 = 3.
в) При p = 6/5 и n = 4 (*) эквивалентно неравенству 
а при n = 5 оно нарушается, например, когда x1 = x5 = 9, x2 = x4 = 15, x3 = 16.
Ответ
а) При всех n; б) при n ≤ 3; в) при n ≤ 4.
Замечания
1. В п. б) при n = 4 неравенство (*) эквивалентно такому: 
отсюда и возник наш пример. В п. в) пример также возникает естественным образом, если преобразовать (*) к виду 
2. Легко показать, что N(p) бесконечно при p ∈ [0, 1] и конечно при p > 1, причём N(p) = 2 при p > 2.
В принципе при каждом p > 1 можно найти N(p), преобразовав левую часть (*) к сумме квадратов (заботиться о симметричности формул и о том, чтобы коэффициенты получались целыми или рациональными, вовсе не обязательно). Например, можно привести (*) к виду
последовательно полагая 
(s1 = 1, k = 1, 2, ...). Тогда 
при n < N(p) и rn < 0 при n = N(p). Таким образом, N(p) – 1 (наибольшее n, при котором (*) ещё выполняется) равно числу ступеней "лестницы", заключенной между графиками s² + t² = 1, st = p/2 и начинающейся в точке s = 1, t = 0, (см. рис.; чем ближе p к единице, тем ближе расположена гипербола к окружности и тем больше ступеней имеет лестница).
Пусть
pk – значение
p, при котором лестница симметрична относительно биссектрисы
s = t (заканчивается в точке
s = 0,
t = 1) и содержит
k ступеней; ясно, что последовательность
p1 = 2 >
p2 >
p3 > ... стремится к 1 и
N(
p) =
k + 1 при
pk–1 ≥
p > pk. Нетрудно доказать, что
но следующие
pk находятся уже из громоздких уравнений, сводящихся к алгебраическим
уравнениям высокой степени.
Поскольку
N(
4/
3) = 4,
N(
6/
5) = 5, то
p2 >
4/
3 >
p3 >
6/
5 >
p4.
Источники и прецеденты использования
