Версия для печати
Убрать все задачи

---

В углу шахматной доски размером m×n полей стоит ладья. Двое по очереди передвигают её по вертикали или по горизонтали на любое число полей; при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из играющих может обеспечить себе победу: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?

   Решение

Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Замена переменных ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

При каких натуральных  n ≥ 2  неравенство     выполняется для любых действительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, если
  а)  p = 1;
  б)  p = ⁴/₃;
  в)  p = ⁶/₅?

Решение

  Заметим, что если положить в неравенстве     несколько последних переменных x_k, x_k+1, ..., x_n равными нулю, то получится аналогичное неравенство, соответствующее меньшему n . Отсюда следует, что если (*) выполняется (для всех x₁, x₂, ..., x_n) при некотором n , то оно выполняется и при меньших n. Таким образом, для каждого фиксированного p существует таксе целое  N(p) ≥ 2,  что (*) выполнено при  n < N(p)  и не выполнено (для некоторых x₁, x₂ , ..., x_n) при  n ≥ N(p);  возможно также, что (*) выполнено при всех n (в этом случае можно считать, что  N(p) = ∞).

  а) При  p = 1  неравенство (*) эквивалентно очевидному неравенству    . Значит,  N(1) = ∞.

  б) При  p = ⁴/₃  и  n = 3  неравенство (*) эквивалентно неравенству     а при  n = 4  неравенство (*) нарушается, например, когда  x₁ = x₄ = 2,   x₂ = x₃ = 3.

  в) При  p = ⁶/₅  и  n = 4  (*) эквивалентно неравенству   а при  n = 5  оно нарушается, например, когда  x₁ = x₅ = 9,  x₂ = x₄ = 15,  x₃ = 16.

Ответ

а) При всех n;   б) при  n ≤ 3;   в) при  n ≤ 4.

Замечания

  1. В п. б) при n = 4 неравенство (*) эквивалентно такому:     отсюда и возник наш пример. В п. в) пример также возникает естественным образом, если преобразовать (*) к виду  

  2. Легко показать, что N(p) бесконечно при  p ∈ [0, 1]  и конечно при  p > 1,  причём  N(p) = 2  при  p > 2.
  В принципе при каждом  p > 1  можно найти N(p), преобразовав левую часть (*) к сумме квадратов (заботиться о симметричности формул и о том, чтобы коэффициенты получались целыми или рациональными, вовсе не обязательно). Например, можно привести (*) к виду     последовательно полагая  
(s₁ = 1,  k = 1, 2, ...).  Тогда     при  n < N(p)  и  r_n < 0  при  n = N(p).  Таким образом,  N(p) – 1  (наибольшее n, при котором (*) ещё выполняется) равно числу ступеней "лестницы", заключенной между графиками  s² + t² = 1,  st = ^p/₂  и начинающейся в точке  s = 1,  t = 0,  (см. рис.; чем ближе p к единице, тем ближе расположена гипербола к окружности и тем больше ступеней имеет лестница).

  Пусть p_k – значение p, при котором лестница симметрична относительно биссектрисы  s = t  (заканчивается в точке  s = 0,  t = 1)  и содержит k ступеней; ясно, что последовательность  p₁ = 2 > p₂ > p₃ > ...   стремится к 1 и  N(p) = k + 1  при  p_k–1 ≥ p > p_k.  Нетрудно доказать, что     но следующие p_k находятся уже из громоздких уравнений, сводящихся к алгебраическим уравнениям высокой степени.
  Поскольку  N(⁴/₃) = 4,  N(⁶/₅) = 5,  то  p₂ > ⁴/₃ > p₃ > ⁶/₅ > p₄.

Источники и прецеденты использования