Задача 73828

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Предел последовательности, сходимость ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Дан треугольник C₁C₂O. В нём проводится биссектриса C₂C₃, затем в треугольнике C₂C₃O – биссектриса C₃C₄ и так далее.
Докажите, что последовательность величин углов  γ_n = C_n+1C_nO  стремится к пределу, и найдите этот предел, если  C₁OC₂ = α.

Решение

  Из условия следует, что C_n+1C_n+2 – биссектриса угла треугольника C_n C_n+1O (см. рис.), поэтому  2γ_n+1 + γ_n + α = π.   (1)

  Докажем, что γ_n стремится к пределу  β = ^π–α/₃.  Перепишем (1) так:  2(γ_n+1 – β) = β – γ_n.  Отсюда следует, что  |γ_n+1 – β| = ½ |γ_n – β|,  то есть что разность между γ_n и β при переходе от n к  n + 1  уменьшается вдвое. Следовательно,  |γ_n – β| = 2^1–n|γ₁ – β|  стремится к нулю.

Ответ

^π–α/₃.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1974
выпуск
Номер	11
Задача
Номер	М293