Задача 76460

Темы:    [ Пересекающиеся сферы ] [ Окружности на сфере ] [ Малые шевеления ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

Условие

На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?

Решение

Пусть a_n — наибольшее число частей, на которые разбивают сферу n окружностей, b_n — наибольшее число частей, на которые разбивают пространство n сфер. Ясно, что a₁ = 2 и b₁ = 2. Покажем, что a_n = a_{n - 1} + 2(n - 1) и b_n = b_{n - 1} + a_{n - 1}. Прежде всего заметим, что число частей будет наибольшим в том случае, когда никакие три окружности не пересекаются в одной точке и, соответственно, никакие четыре сферы не пересекаются в одной точке и никакие три сферы не имеют общей окружности. Действительно, иначе число частей всегда можно увеличить, слегка пошевелив окружности (сферы). Пусть на сфере дано n окружностей, никакие три из которых не пересекаются в одной точке. Фиксируем одну из них. Оставшиеся окружности разбивают сферу не более чем на a_{n - 1} частей, причём возможна конфигурация, когда они разбивают сферу на a_{n - 1} частей. Фиксированная окружность пересекает остальные окружности не более чем в 2n - 2 точках, причём случай, когда число точек пересечения равно 2n - 2, возможен. Точки пересечения разбивают фиксированную окружность на 2n - 2 частей; каждая их этих частей окружности добавляет одну новую часть разбиения сферы. Поэтому a_n = a_{n - 1} + 2(n - 1). Равенство b_n = b_{n - 1} + a_{n - 1} доказывается аналогично. Таким образом, a₂ = 4, a₃ = 8, a₄ = 14 и b₂ = 4, b₃ = 8, b₄ = 16, b₅ = 30.

Ответ

На 30 частей.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	5
Год	1939
вариант
Тур	2
задача
Номер	6