Даны окружность $\omega$ и не лежащая на ней точка $P$. Пусть $ABC$ – произвольный правильный треугольник, вписанный в $\omega$, а точки $A'$, $B'$, $C'$ – проекции $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников $A'B'C'$.

   Решение

Темы:    [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных треугольника.

Решение

Предположим, что отрезок CD разрезает разносторонний треугольник ABC на два равных треугольника ACD и BCD. Эти треугольники имеют, в частности, равные площади, поэтому AD = BD. Кроме того, сторона CD общая. Следовательно, оставшиеся стороны равны, т.е. AC = BC. Приходим к противоречию.

Источники и прецеденты использования