Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что если  ∠A = 45°,  то B₁C₁ – диаметр окружности девяти точек треугольника ABC.

   Решение

---

На сторонах квадрата, как на основаниях, построены во внешнюю сторону равные равнобедренные треугольники с острым углом при вершине. Доказать, что получившуюся фигуру нельзя разбить на параллелограммы.

   Решение

---

Дано n целых чисел  a₁ = 1,  a₂, a₃, ..., a_n, причём   a_i ≤ a_i+1 ≤ 2a_i  (i = 1, 2,..., n – 1)  и сумма всех чисел чётна. Можно ли эти числа разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны?

   Решение

---

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A₁, B₁ и C₁, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны и прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Числа 1, 2, ..., k² расположены в квадратную таблицу

Произвольное число выписывается, после чего из таблицы вычеркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей из  (k – 1)²  чисел и т.д. k раз. Найти сумму выписанных чисел.

   Решение

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Числа 1, 2, ..., k² расположены в квадратную таблицу

Произвольное число выписывается, после чего из таблицы вычеркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей из  (k – 1)²  чисел и т.д. k раз. Найти сумму выписанных чисел.

Решение

Запишем данную таблицу в виде

Каждое число таблицы представлено в виде  ka + b,  где  0 ≤ a &le k – 1  и  1 ≤ b ≤ k. Будем отдельно суммировать слагаемые ka и слагаемые b. Из каждой строки выписано в точности одно число, поэтому будут присутствовать слагаемые ka для каждого  a = 0, 1, ..., k – 1.  Из каждого столбца выписано в точности одно число, поэтому будут присутствовать слагаемые b для каждого  b = 1, 2, ..., k.  Таким образом, искомая сумма равна
k(0 + 1 + 2 + ... + (k – 1)) + (1 + 2 + ... + k) = ½ k(k(k – 1) + (k + 1)) = ½ k(k² + 1)).

Ответ

½ k(k² + 1)).

Источники и прецеденты использования