Задача 78054

Темы:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Дано уравнение  xⁿ – a₁x^n–1 – a₂x^n–2 – ... – a_n–1x – a_n = 0,  где  a₁ ≥ 0,  a₂ ≥ 0,  a_n ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Решение

Перепишем данное уравнение в виде     При  x > 0  функция в правой части монотонно убывает, поэтому она не может принимать значение 1 при двух различных положительных значениях x.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема	Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер	06.061
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	18
Год	1955
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	3