Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78052 (#1)

Темы:	[	Подобные треугольники	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC. На сторонах AB, BC, CA взяты соответственно точки C₁, A₁, B₁ так, что AC₁ : C₁B = BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = 1 : n. На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ треугольника A₁B₁C₁ взяты соответственно точки C₂, A₂, B₂ так, что A₁C₂ : C₂B₁ = B₁A₂ : A₂C₁ = C₁B₂ : B₂A₁ = n : 1. Доказать, что A₂C₂ || AC, C₂B₂ || CB, B₂A₂ || BA.

Прислать комментарий Решение

Задача 78053 (#2)

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.

Прислать комментарий Решение

Задача 78054 (#3)

Темы:	[	Уравнения высших степеней (прочее)	]
Темы:	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Дано уравнение xⁿ – a₁x^n–1 – a₂x^n–2 – ... – a_n–1x – a_n = 0, где a₁ ≥ 0, a₂ ≥ 0, a_n ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78048 (#4)

Темы:	[	Окружности, вписанные в сегмент	]
Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям. Доказать, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 78055 (#5)

Темы:	[	Перебор случаев	]
Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пять человек играют несколько партий в домино (два на два) так, что каждый играющий имеет каждого из остальных один раз партнёром и два раза противником. Найти количество сыгранных партий и все способы распределения играющих.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]