Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.
Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что
Число x оканчивается на 5. Доказать, что x² оканчивается на 25.
На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие две не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. По каждой прямой с постоянной скоростью идёт пешеход. Известно, что первый встречается со вторым, с третьим и с четвёртым, а второй встречается с третьим и с четвёртым. Доказать, что третий пешеход встретится с четвёртым.
|
|
 |
Условие
На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие две не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. По каждой прямой с постоянной скоростью идёт пешеход. Известно, что первый встречается со вторым, с третьим и с четвёртым, а второй встречается с третьим и с четвёртым. Доказать, что третий пешеход встретится с четвёртым.
Решение
Введём наряду с координатами в плоскости, в которой движутся пешеходы, ещё и третью ось координат – ось времени. Рассмотрим графики движения пешеходов. Ясно, что пешеходы встречаются, когда их графики движения пересекаются. Из условия следует, что графики третьего и четвёртого пешеходов лежат в плоскости, заданной графиками двух первых пешеходов. Поэтому графики третьего и четвёртого пешеходов пересекаются.
