Версия для печати
Убрать все задачи

---

Концы отрезков AB и CD перемещаются по сторонам данного угла, причем прямые AB и CD перемещаются параллельно; M – точка пересечения отрезков AB и CD. Докажите, что величина     остается постоянной.

   Решение

---

Последовательность {a_n} строится следующим образом:  a₁ = p  – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, a_n+1 – период десятичной дроби ¹/_an, умноженный на 2. Найдите число a₂₀₀₃.

   Решение

Темы:    [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

a, b, c – такие три числа, что  a + b + c = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  ab + ac + bc ≤ 0.

Решение

2(ab + ac + bc) = (a + b + c)² – a² – b² – c² = – a² – b² – c² ≤ 0.

Замечания

На Математической регате задача была сформулирована следующим образом.
  Сумма трёх чисел равна нулю. Может ли сумма их попарных произведений быть положительной?

Источники и прецеденты использования