На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось, причём ровно в семь раз. Не ошибся ли он?

   Решение

Дан треугольник АВС. Точка О₁ – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О₂ и О₃ являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО₁, ВО₂ и СО₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.

   Решение

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Прислать комментарий

Условие

Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.

Решение

Сумма векторов, отвечающих какому-нибудь прохождению звеньев замкнутой ломаной, равна нулю. Каждый из них равен по модулю и направлению одному из векторов  ± a_i,  где    а точки B_i лежат на прямой l. Таким образом, достаточно доказать, что
  ≠ 0  для любого набора  ε_i = ±1.  Рассмотрим проекцию любой такой комбинации на прямую m, перпендикулярную l. Пусть h – расстояние от точки A до прямой l, тогда проекция  ε_ia_i  равна ε_ih. А значит, проекция вектора     равна     ≠ 0,
поскольку  ε_i = ±1  и векторов нечётное число. Тем более      ≠ 0.

Источники и прецеденты использования