Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось, причём ровно в семь раз. Не ошибся ли он?
Дан треугольник АВС. Точка О1 – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.
Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.
Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение xn + yn = zn не может иметь решений в целых числах, для которых x + y – простое число.
|
|
 |
Условие
Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение xn + yn = zn не может иметь решений в целых числах, для которых x + y – простое число.
Решение
zn = хn + уn делится на х + у. Если х + у – простое число, то и z делится на х + у, то есть z ≥ х + у. Но тогда zn ≥ (х + у)n > хn + уn.
.Замечания
В исходной задаче Московской олимпиады речь шла не о натуральных, а о целых числах и отсутствовало условие n > 1. В такой формулировке утвеждение неверно: имеется бесконечно много решений вида (p, 0, p), а при n = 1 ещё и решения вида (t, p – t, p), где p – простое, t – целое.
