Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.
На круглой поляне радиуса R растут три круглые сосны одинакового диаметра.
Центры их стволов находятся на расстоянии
от центра поляны в
вершинах равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно из
диаметрально противоположных точек поляны, обходят поляну по краю с одинаковой
скоростью и в одном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят ли
друг друга три человека, если они так же будут обходить поляну, выйдя из точек,
находящихся в вершинах вписанного в поляну правильного треугольника?
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2, ..., 1963 так, чтобы сумма каждых двух выбранных чисел делилась на 26?
В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость гангстера равна 2,9 максимальной скорости полицейского. Полицейский хочет оказаться вместе с гангстером на одной стороне квадрата. Всегда ли он сможет этого добиться?
На плоскости даны три вектора
a,
b,
c, причем
a +
b +
c = 0. Докажите, что
эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины
тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |
|, |
|,
|
| можно составить треугольник.
Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую
длину?
|
|
 |
Условие
Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую
длину?
Решение
Пусть мы уже выбрали требуемым способом несколько векторов; и – их сумма. Проведём через центр O 25-угольника прямую l, перпендикулярную вектору
. Предположим, что среди выбранных векторов содержится вектор
, лежащий на прямой l или по другую сторону от прямой l, чем вектор
. Если мы исключим этот вектор из числа выбранных, то новая сумма будет иметь большую длину. Действительно, треугольник OAS – прямоугольный или тупоугольный, и значит, SA > OS, но
SA = |
–
|. Предположим ещё, что в число выбранных векторов не вошёл какой-либо вектор
, лежащий по ту же сторону от прямой l, что и вектор
. Присоединим этот вектор к числу выбранных; новая сумма будет иметь большую длину: рассмотрим параллелограмм OBВ'S; треугольник OB'S – тупоугольный и OВ' > OS, но OB' = |
+
|. Мы видим, что в число выбранных векторов должны войти любые двенадцать, идущие подряд (угол между крайними векторами меньше 180°, а при добавлении тринадцатого вектора этого угол становится больше развёрнутого).
