Задача 78509

Тема:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Найти все многочлены P(x), для которых справедливо тождество:  xP(x – 1) ≡ (x – 26)P(x).

Решение

Подставив  x = 0,  получаем  0 = – 26P(0),  то есть  P(0) = 0.  Подставив  x = 1,  получаем  P(0) = – 25P(1),  то есть  P(1) = 0.  Далее подставляем x = 2, 3, ..., 25 и последовательно получаем  P(2) = P(3) = ... = P(25) = 0.  Значит,  P(x) = x(x – 1)(x – 2)...(x – 25)Q(x),  где Q(x) – некоторый многочлен. При этом из тождества  xP(x – 1) = (x – 26)P(x)  следует, что  Q(x – 1) = Q(x),  то есть  Q(x) = c  – постоянное число (см. задачу 61433).

Ответ

P(x) = cx(x – 1)(x – 2)...(x – 25),  где c – некоторая константа.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема	Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер	06.060
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	26
Год	1963
вариант
	1
Класс	11
Тур	2
задача
Номер	3