Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две равные части.

   Решение

Если повернуть квадрат вокруг его центра на 45°, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как  a : b : a  (эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях  a : b : a  и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.

   Решение

В треугольнике ABC высоты, опущенные на стороны AB и BC, не меньше этих сторон соответственно. Найти углы треугольника.

   Решение

Тема:    [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC высоты, опущенные на стороны AB и BC, не меньше этих сторон соответственно. Найти углы треугольника.

Решение

Ответ: B = 90^o, A = C = 45^o. Пусть CH и AK — высоты треугольника ABC. По условию CHAB и AKBC. А так как перпендикуляр короче наклонной, то ABAK и BCCH. Объединяя все эти неравенства, получаем CHABAKBCCH. Следовательно, все эти неравенства обращаются в равенства. В частности, AB = BC, т.е. треугольник равнобедренный. Кроме того, равенство AB = AK означает, что высота AK совпадает со стороной AB, т.е. B = 90^o.

Источники и прецеденты использования