Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
В школе изучают 2n предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два
ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них
учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше .
(Мы считаем, что ученик p учится лучше ученика q, если у p оценки по всем предметам не ниже, чем у q, а по некоторым предметам – выше.)
Точка, лежащая внутри описанного n-угольника,
соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания.
Образовавшиеся при этом треугольники попеременно окрашены
в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных
треугольников равно произведению площадей синих треугольников.
Решить в натуральных числах уравнение x2y + (x + 1)2y = (x + 2)2y.
На круглой поляне радиуса R растут три круглые сосны одинакового диаметра.
Центры их стволов находятся на расстоянии
от центра поляны в
вершинах равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно из
диаметрально противоположных точек поляны, обходят поляну по краю с одинаковой
скоростью и в одном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят ли
друг друга три человека, если они так же будут обходить поляну, выйдя из точек,
находящихся в вершинах вписанного в поляну правильного треугольника?
|
|
 |
Условие
При каком значении K величина
Ak = максимальна?
Решение
Ответ: При k = 65.
Обозначим
Bk = ,
Ck =
. Тогда
Ak = Bk + Ck,
=
,
=
. Следовательно, при k
19 обе
последовательности не убывают, а при k
65 обе последовательности
не возрастают, т. е. максимальное значение достигается при некотором
k
[19, 65]. Заметим, что при
k
[19, 64] выполняются
неравенства
и
=
<
<
. Следовательно,
| Ak + 1 - Ak = Ck + 1 - Ck + Bk + 1 - Bk |
т. е. при k
