Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Можно ли расположить в пространстве пять сфер так, чтобы для каждой из сфер можно было провести через ее центр касательную плоскость к остальным четырем сферам? Сферы могут пересекаться и не обязаны иметь одинаковый радиус.
В Чили в феврале проходил международный турнир по футболу. Первое место с 8 очками занял местный клуб "Коло-Коло". На очко отстало московское "Динамо" и заняло второе место. Третье место с 4 очками занял бразильский клуб "Коринтианс". Четвёртое место занял югославский клуб "Црвена Звезда", также набравший 4 очка. Доказать, что по этим данным можно точно определить, сколько ещё команд участвовало в турнире и по сколько очков они набрали. (За победу присуждается 2 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)
Квадратная таблица из 49 клеток заполнена числами от 1 до 7 так, что в каждом столбце и в каждой строке встречаются все эти числа. Докажите, что если таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встречаются все эти числа.
Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
Докажите, что уравнение xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z – x) = 6 имеет бесконечно много решений в целых числах.
В остроугольном треугольнике ABC (AB<BC) провели высоту BH. Точка P симметрична точке H относительно прямой, соединяющей середины сторон AC и BC. Докажите, что прямая BP содержит центр описанной окружности треугольника ABC.
Дан треугольник ABC. Найти геометрическое место таких точек M, что треугольники ABM и BCM – равнобедренные.
|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC. Найти геометрическое место таких точек M, что треугольники ABM и BCM – равнобедренные.
Решение
Пусть MAB – ГМТ M, для которых треугольник ABM – равнобедренный. Тогда MAB = s(B, AB) ∪ s(A, AB) ∪ lAB \ {A, B}, где s(O, r) – окружность с центром O и радиусом r, lAB – серединный перпендикуляр к отрезку AB. Аналогично определяется множество
MBC. Искомым ГМТ является пересечение
M = MAB ∩ MBC.
Если AB ≠ BC, то множество M состоит из не более чем 14 точек. Если AB = BC, то M состоит из окружности s(B, AB) и еще не более шести точек.
