Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Окружность радиуса, равного высоте некоторого правильного треугольника, катится по стороне этого треугольника. Доказать, что дуга, высекаемая сторонами треугольника на окружности, всё время равна 60o.

   Решение

Задача 78619
Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Обозначим через d(N) число делителей N (числа 1 и N также считаются делителями). Найти все такие N, что число  P =   – простое.


Решение

  Пусть    – разложение N на простые множители. Без ограничения общности можно считать, что  P = p1.  Тогда
d(N) = (k1 + 1)(k2 + 1)...(ks + 1)  и     Нетрудно проверить, что
  если  p > 3,  k ≥ 2,  то   > p,  а если  p = 3,  k = 2,  то   = p;
  если  p = 3,  k > 2,  то   > p;
  если p ≥ 2,  то   ≥ 1,  причём если  p > 2  или  k > 1,  то неравенство строгое;
  если p = 2,  k ≥ 4,  то   > p.
  Рассмотрим два варианта.
  1) N делится на   , то есть  k1 ≥ 2.  В силу приведённых неравенств     не больше p1 только при  p1 = 3,  k1 = 2  или  p1 = 2,  k1 = 2 или 3.
  В первом случае в произведении уже есть сомножитель, равный p1, значит, все остальные сомножители равны единице. Следовательно, либо  N = 9,  либо  N = 2·9 = 18.
  Во втором случае, если  k1 = 3,  то   = 2,  а значит,  N = 8.  Если  k1 = 2,  то   = 4/3.  В знаменателе появилась тройка. Следовательно,  N кратно 3. Число  N = 3·2²  подходит, и поскольку   > 1,5  при  k > 1,  то в большей степени тройка в разложение N входить не может.
  Итак, в этом варианте подходят только числа  N = 8, 9, 12 и 18.
  2)   k1 = 1.  Тогда первый множитель равен  p1/2. Следовательно, произведение остальных множителей равно 2. Если число N имеет простой делитель, не меньший 5, то соответствующий ему множитель больше 2, что невозможно. Следовательно,  N = p·2s³r  и при этом  r ≤ 1  (иначе   > 2)  и  s ≤ 3  (иначе   > 2).  Перебрав все эти варианты, получаем, что подходят числа  N = 24, 8p, 12p, 18p.


Ответ

8, 9, 12, 18, 24, 8p, 12p, 18p, где p – произвольное простое число, большее 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 30
Год 1967
вариант
1
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .