ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78693
Темы:    [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеется 1000 деревянных правильных 100-угольников, прибитых к полу. Всю эту систему мы обтягиваем верёвкой. Натянутая верёвка будет ограничивать некоторый многоугольник. Доказать, что у него более 99 вершин.


Решение

Докажем, что если верёвка натянута на несколько правильных n-угольников, то она ограничивает многоугольник, у которого не менее n вершин. Пусть выпуклая оболочка вершин данных n-угольников является m-угольником и  φ1, ..., φm  – его углы. Так как каждый угол выпуклой оболочки содержит угол правильного n-угольника, то  φi ≥ (1 − 2/n)π  (справа стоит величина угла правильного n-угольника). Поэтому  (m – 2)π = φ1 + ... + φmm(1 − 2/n)π.  Следовательно,  2m/n ≥ 2,  то есть  mn.

Замечания

См. также задачи 78694, 78701.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 32
Год 1969
вариант
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .