Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Можно ли расположить в пространстве пять сфер так, чтобы для каждой из сфер можно было провести через ее центр касательную плоскость к остальным четырем сферам? Сферы могут пересекаться и не обязаны иметь одинаковый радиус.
В Чили в феврале проходил международный турнир по футболу. Первое место с 8 очками занял местный клуб "Коло-Коло". На очко отстало московское "Динамо" и заняло второе место. Третье место с 4 очками занял бразильский клуб "Коринтианс". Четвёртое место занял югославский клуб "Црвена Звезда", также набравший 4 очка. Доказать, что по этим данным можно точно определить, сколько ещё команд участвовало в турнире и по сколько очков они набрали. (За победу присуждается 2 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)
Квадратная таблица из 49 клеток заполнена числами от 1 до 7 так, что в каждом столбце и в каждой строке встречаются все эти числа. Докажите, что если таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встречаются все эти числа.
Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
Докажите, что уравнение xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z – x) = 6 имеет бесконечно много решений в целых числах.
В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB$<$BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Дан треугольник ABC. Найти геометрическое место таких точек M, что треугольники ABM и BCM – равнобедренные.
Многочлен степени $n > 1$ имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$
Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно p + q?
Докажите, что если центр вписанной в четырехугольник
окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот
четырехугольник — ромб.
На окружности с центром O даны точки
A1,..., An,
делящие ее на равные дуги, и точка X. Докажите, что
точки, симметричные X относительно прямых
OA1,..., OAn,
образуют правильный многоугольник.
Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или же во всех клетках одного столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями, получить ровно 1970 минусов?
|
|
 |
Условие
Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или же во всех клетках одного столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями, получить ровно 1970 минусов?
Решение
Пусть в i-й строке мы изменили знак xi раз, в k-м столбце – yk раз. Тогда в клетке, стоящей на пересечении i-й строки и k-го столбца, знак изменится
xi + yk раз. Следовательно, в этой клетке будет стоять минус в том и только в том случае, когда xi + yk нечётно. Таким образом, общее количество минусов в полученной таблице зависит только от чётности чисел xi и yk. Пусть x – количество нечётных чисел среди xi, y – количество нечётных чисел среди yk. Тогда, как нетрудно посчитать, общее число минусов в таблице будет равно x(100 – y) + (100 – x)y = 100x + 100y – 2xy.
Предположим, что нам удалось получить ровно 1970 минусов. Тогда 1970 = 100x + 100y – 2xy, или
(x – 50)(y – 50) = 1515 = 15·101.
Поскольку число 101 простое, то либо х – 50, либо y – 50 делится на 101. Но это невозможно, так как |x − 50| ≤ 50 и |y − 50| ≤ 50 (равняться нулю эти множители тоже не могут). Противоречие.
Ответ
Нельзя.
