ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Окружность радиуса, равного высоте некоторого правильного треугольника, катится по стороне этого треугольника. Доказать, что дуга, высекаемая сторонами треугольника на окружности, всё время равна 60o. Некоторые из чисел a1, a2,...an равны +1, остальные равны -1. Доказать, что
n точек соединены отрезками так, что каждая точка с чем-нибудь соединена и нет таких двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями.
Верно ли, что любой треугольник можно разбить на четыре равнобедренных треугольника? |
Задача 78756
УсловиеКвадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?
РешениеОтвет: можно получить ровно 100 двадцатиугольников, сделав 1699
разрезов, а сделав меньшее число разрезов, 100 двадцатиугольников получить
нельзя.
При каждом разрезании общее число кусков бумаги увеличивается на 1 (так как
один кусок пропадает и появляются два новых), поэтому после n разрезов
будет (n + 1) кусков бумаги. Подсчитаем теперь, каким может быть общее число
вершин во всех кусках вместе после n разрезов. При каждом разрезании общее
число вершин увеличивается либо на 2 (если резали через две вершины), либо
на 3 (если резали через вершину и сторону), либо на 4 (если резали через
2 стороны). Так как сначала было 4 вершины, то после n разрезов во всех
кусках вместе будет не больше чем 4n + 4 вершины.
Предположим, что после N разрезов получилось 100 двадцатиугольников. Так
как при этом общее число полученных кусков будет N + 1, то, кроме этих
двадцатиугольников, будет ещё N + 1 - 100 кусков. Каждый из этих кусков будет
иметь не меньше трёх вершин, поэтому общее число вершин во всех кусках будет
не меньше чем
100 . 20 + (N - 99) . 3. Как было доказано раньше, это число
не больше чем 4N + 4. Значит, 4N + 4 ≥ 100 · 20 + (N − 99)·3 = 3N + 1703,
откуда N ≥ 1699.
Итак, мы доказали, что нельзя получить 100 двадцатиугольников, сделав
меньше чем 1699 разрезов. Это основная и самая трудная часть доказательства.
Ответ
Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке