Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?

   Решение

Доказать, что при любом целом положительном n сумма     больше ½.

   Решение

Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R и r, если расстояние между их центрами равно a
(a < R + r).

   Решение

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 6k + 5  бесконечно.

   Решение

Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.

   Решение

В круге с центром O проведена хорда AB. Вычислите площадь получившегося сегмента, если  ∠AOB = α,  а радиус круга равен r.

   Решение

Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n² равна 100?

   Решение

Доказать, что число 100...001, в котором  2¹⁹⁷⁴ + 2¹⁰⁰⁰ – 1  нулей, составное.

   Решение

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что число 100...001, в котором  2¹⁹⁷⁴ + 2¹⁰⁰⁰ – 1  нулей, составное.

Решение

Рассматриваемое число  (10²¹⁰⁰⁰)^{2974 + 1} + 1  делится на  10²¹⁰⁰⁰ + 1  (поскольку число  2⁹⁷⁴ + 1  нечётно).

Источники и прецеденты использования