Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?

   Решение

Доказать, что в произвольном выпуклом 2n-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

   Решение

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Принцип крайнего ] [ Задачи с ограничениями ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что в произвольном выпуклом 2n-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

Решение

Диагоналей, параллельных данной стороне, не более  n – 2  (через самую дальнюю от стороны вершину не может проходить параллельная этой стороне диагональ). Потому всего диагоналей, параллельных сторонам, не более  2n(n – 2),  что меньше числа  n(2n – 3)  всех диагоналей 2n-угольника (см. задачу 60391).

Источники и прецеденты использования