|
|
 |
Условие
Арена цирка освещается n различными прожекторами. Каждый прожектор освещает некоторую выпуклую фигуру. Известно, что если выключить один произвольный прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить произвольные два прожектора, то арена полностью освещена не будет. При каких значениях n это возможно?
Решение
Для n = 2 это, очевидно, возможно. При n > 2 впишем в арену правильный k-угольник, где k = n(n−1)/2. Тогда можно установить взаимно однозначное соответствие между сегментами, отсекаемыми сторонами k-угольника, и парами прожекторов. Пусть каждый прожектор освещает весь k-угольник и сегменты, соответствующие парам, в которые он входит. Легко проверить, что это освещение обладает требуемыми свойствами.
Ответ
При всех n ≥ 2.
