Петя купил "Конструктор", в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к "Конструктору" написано, что из любых трёх палочек "Конструктора" можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции?

   Решение

Темы:    [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Окружности на сфере ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На сферическом Солнце обнаружено конечное число круглых пятен, каждое из которых занимает меньше половины поверхности Солнца. Эти пятна предполагаются замкнутыми (т.е. граница пятна принадлежит ему) и не пересекаются между собой. Доказать, что на Солнце найдутся две диаметрально противоположные точки, не покрытые пятнами.

Решение

Рассмотрим пятно самого большого радиуса. Слегка увеличим радиус содержащего его круга так, чтобы он снова был меньше радиуса Солнца и этот круг не пересекался с остальными пятнами. Отразим границу круга относительно центра Солнца. Полученная окружность не может быть полностью покрыта одним пятном, потому что радиус окружности больше радиуса любого пятна. Но она не может быть полностью покрыта и несколькими пятнами, потому что пятна замкнутые и не пересекаются между собой. Любая непокрытая точка окружности и диаметрально противоположная ей точка не покрыты пятнами.

Источники и прецеденты использования