Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Для любых чисел a1 и a2, удовлетворяющих условиям a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, a1 + a2 = 1, можно найти такие числа b1 и b2, что b1 ≥ 0, b2 ≥ 0, b1 + b2 = 1,
(5/4 – a1)b1 + 3(5/4 – a2)b2 > 1. Доказать.
Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.
|
|
 |
Условие
Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.
Решение
Рассмотрим на плоскости четыре вектора (a, b), (c, d), (e, f) и (g, h). Один из углов между этими векторами не превосходит 360° : 4 = 90°. Скалярное произведение соответствующих векторов неотрицательно, а данные шесть чисел являются скалярными произведениями всех пар наших четырёх векторов.
