Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Докажите, что числа 1, 2, ..., n ни при каком n > 1 нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.
Докажите, что сумма всех чисел вида 1/mn, где m и n – натуральные числа, 1 < m < n < 1986, не является целым числом.
Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плоскости Oxy
рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса
координатного угла — прямая y=x. Затем на графике функции
отмечаются точки A0(x0,f(x0)),
A1(x1,f(x1)),...,
An(xn,f(xn)),... а на биссектрисе координатного угла —
точки
B0(x0,x0),
B1(x1,x1),...,
Bn(xn,xn),...
Ломаная B0A0B1A1...
BnAn... называется итерационной.
Постройте итерационные ломаные для следующих
данных:
а)
f (x) = 1 + , x0 = 0, x0 = 8;
б)
f (x) = , x0 = 2;
в) f (x) = 2x - 1, x0 = 0, x0 = 1, 125;
г)
f (x) = - + 6,
x0 =
;
д)
f (x) = x2 + 3x - 3, x0 = 1, x0 = 0, 99, x0 = 1, 01;
е)
f (x) = , x0 = 0, x0 = 8;
ж)
f (x) = -
+
+ 3,
x0 = 3.
Доказать, что из любых 27 различных натуральных чисел, меньших 100, можно выбрать два числа, не являющихся взаимно простыми.
|
|
 |
Условие
Доказать, что из любых 27 различных натуральных чисел, меньших 100, можно выбрать два числа, не являющихся взаимно простыми.
Решение
Рассмотрим произвольный набор из 27 различных натуральных чисел, меньших 100. Для каждого числа из набора отметим либо один из его простых делителей (если это число не равно единице), либо единицу (если это число равно единице). Так как простых чисел, меньших ста, всего 25, то какое-то число мы отметили дважды. Этим числом не могла быть единица, поскольку единицу мы отмечали только для единицы. Следовательно, в наборе есть два числа с общим простым делителем, то есть два числа, не являющихся взаимно простыми.
