|
|
 |
Условие
Найдите все положительные числа x1, x2, ..., x10, удовлетворяющие при всех k = 1, 2,..., 10 условию (x1 + ... + xk)(xk + ... + x10) = 1.
Решение
Положим x1 + x2 + ... + x10 = s. Задав s, мы из данных уравнений можем выразить x1 + x2 + ... + xk = sk для всех k = 1, 2, ..., 10:
Отсюда видно, что равенства могут выполняться лишь при одном значении s. Действительно, пусть при некотором s они верны. Если s увеличить, то s1, s2, ..., s10 уменьшатся (и наоборот); при этом последнее равенство будет нарушено.
Поскольку все неизвестные можно выразить через s, система имеет не более одного решения.
Построим равнобедренный треугольник A0OA10 с боковыми сторонами A0O = OA10 = 1 и углами 15° при основании; на основании A0A10 отметим точки A1, A2, ..., A9 так, что отрезки A0A1, A1A2, ..., A9A10 видны из вершины O под равными углами α (угол A0OA10 равен 150° = 10α). Докажем, что длины этих отрезков x1, x2, ..., x10 удовлетворяют нашей системе.
Проведём через точку O ещё луч OP, параллельный A0A10. Треугольники A0OAk и A10Ak–1O очевидно подобны, причём сторонам A0O = 1 и
A0Ak = x1 + ... + xk первого соответствуют стороны
Ak–1A10 = xk + ... + x10 и OA10 = 1 второго. Отсюда получаем нужное уравнение
(x1 + ... + xk)(xk + ... + x10) = 1.
Пользуясь теоремой синусов, из треугольников OAk–1Ak и OA0Ak получаем =
,
=
, откуда
xk = (k = 1, 2,..., 10).
Числа sin kα для k = 1, 2,..., 6 равны соответственно Подставляя эти значения в общую формулу, получаем ответ.
Ответ
Замечания
Обобщение и подробности см. в решениях Задачника "Кванта".
