|
|
 |
Условие
Функция $f(x)$ при каждом значении $x \in (-\infty, + \infty)$ удовлетворяет равенству $$f(x) + \left(x + \frac12 \right) f(1 - x) = 1.$$а) Найдите $f(0)$ и $f(1)$.
б) Найдите все такие функции $f(x)$.
Подсказка
а) Подставьте в равенство значения $x=0$ и $x=1$.
б) Рассмотрите ещё одно равенство, получающееся из исходного заменой $x$ на $1-x$.
Решение
а) Запишем данное равенство при $x = 0$ и при $x = 1$: $f(x) + \frac12 f(1) = 1$, $f(1) + \frac32 f(0) = 1$. Вычитая из удвоенного первого равенства второе, получим $\frac12 f(0)=1$, откуда $f(0) = 2$. Следовательно, $f(1) = 1-3 = -2.$
б) Подставляя вместо $x$ выражение $1-x$, получаем ещё одно тождество $$f(1-x) + \left( \frac32 - x \right) \cdot f(x) =1.$$ Выразим из него $f(1-x)$ и подставим в исходное: $$f(x) + \left( x+\frac12 \right) \cdot \left(x-\frac32 \right)\cdot f(x) + \left( x+\frac12 \right)=1,$$ откуда при $x \ne \frac12$ получаем $$f(x) = \frac{1/2-x}{1+(x+1/2)(x-3/2)} = \frac{1/2-x}{x^2-x+1/4} = \frac{1}{1/2-x}.$$ Оставшееся значение $f(1/2)$ находим подстановкой $x=1/2$ в исходное тождество: $$f(1/2) + (1/2+1/2) \cdot f(1/2) = 1,$$ откуда $f(1/2) = 1/2$. Найденная функция является единственной, удовлетворяющей условию задачи.
Ответ
а) $f(0) = 2$, $f(1)=-2.$
б) $f(x) = \frac{1}{1/2-x}$ при $x \ne 1/2$, $f(1/2) = 1/2$.
