|
|
 |
Условие
Между какими двумя девятками в записи $$\underbrace{199\dots 991}_{1991 \text{ девятка}}$$ нужно поставить знак:а) «+», чтобы полученная сумма была наименьшей;
б) «×», чтобы полученное произведение было наибольшим?
Подсказка
Выразите через $10^k$ слагаемые (множители), получающиеся из данного числа, если поставить знак «+» («×») между его $k$-й и $(k+1)$-й цифрами, и найдите минимальное (максимальное) значение соответствующей функции.Решение
Если поставить знак «+» (или «×») между $k$-й и $(k+1)$-й цифрами данного числа, то слагаемые (соответственно, множители) будут иметь вид $$\underbrace{19\ldots9}_{k-1 \text{ девяток}} = 2 \cdot 10^{k-1}-1$$ и $$\underbrace{9\ldots91}_{1992-k \text{ девяток}} = 10^{1993-k}-9.$$а) Сумма получившихся чисел равна $$2 \cdot 10^{k-1}+10^{1993-k}-10=f(10^{k-1})-10,$$ где $f(x) = 2x + \frac{10^{1992}}{x}.$ Анализируя знак производной $$f'(x) = 2 - \frac{10^{1992}}{x^2} = \left( \sqrt{2} - \frac{10^{996}}{x}\right) \cdot \left( \sqrt{2} - \frac{10^{996}}{x}\right),$$ получаем, что функция $f(x)$ возрастает при $x \ge \frac{1}{\sqrt{2}} \, 10^{996}$ (в частности, при $x \ge 10^{996}$) и убывает при $0 < x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ (в частности, при $0 < x \le 10^{995}$). Значит, достаточно сравнить значения $f(10^{996})$ и $f(10^{995})$: $$f(10^{996}) = 2 \cdot 10^{996} + 10^{996} = 3 \cdot 10^{996},$$ $$f(10^{995}) = 2 \cdot 10^{995} + 10^{997} > 10^{997} = 10 \cdot 10^{996} > f(10^{996}).$$ Итак, наименьшим среди значений $f(10^{k-1})$ является значение, соответствующее $k-1=996$, то есть $k=997$.
б) Произведение получившихся чисел равно
$$(2 \cdot 10^{k-1} - 1) \, (10^{1993-k} - 9) = 2 \cdot 10^{1992} + 9 - 18 \cdot 10^{k-1} - 10^{1993-k} = 2 \cdot 10^{1992} + 9 - g(10k-1),$$
где $g(x)= 18x + \frac{10^{1992}}{x}$. Оно будет наибольшим при наименьшем значении $g(10^{k-1})$. Как и в предыдущем пункте, по знаку производной определяем, что функция $g(x)$ возрастает при $x \ge \frac{1}{3 \sqrt{2}} \, 10^{996}$ (в частности, при $x \ge 10^{996}$) и убывает при $0 < x \le \frac{1}{3 \sqrt{2}} \, 10^{996}$ (в частности, при $0 < x \le 10^{996}$).
Сравним значения $g(10^{996})$ и $g(10^{995})$:
$$g(10^{996}) = 18 \cdot 10^{996} + 10^{996} = 19 \cdot 10^{996},$$
$$g(10^{995}) = 18 \cdot 10^{995} + 10^{997} = 11{,}8 \cdot 10^{996} < g(10^{996}).$$
Таким образом, в этом случае наименьшим среди значений $g(10^{k-1})$ является таковое при $k=996$.
Ответ
а) Между 997-й и 998-й;б) Между 996-й и 997-й.
