а) На столе лежит 21 монета решкой вверх. За одну операцию разрешается перевернуть любые 20 монет. Можно ли за несколько операций добиться, чтобы все монеты легли орлом вверх?
б) Тот же вопрос, если монет 20, а разрешается переворачивать по 19.

   Решение

Темы:    [ Перпендикулярность прямой и плоскости ] [ Признаки перпендикулярности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной прямой.

Решение

Пусть данная точка M не лежит на данной прямой h . Проведём через них плоскость α (рис.1). Пусть прямая плоскости α , проходящая через точку M перпендикулярно прямой h , пересекает прямую h в точке A . Через произвольную точку, не лежащую в плоскости α , и прямую h проведём плоскость β . В плоскости β проведём прямую AN , перпендикулярную прямой h . Через пересекающиеся прямые AM и AN проведём плоскость γ . Поскольку прямая h перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM и AN плоскости γ , прямая h перпендикулярна плоскости γ . Докажем единственность. Предположим, что существует плоскость γ 1 , проходящая через точку M перпендикулярно прямой h и отличная от плоскости γ . Поскольку плоскости γ и γ 1 имеют общую точку M , они пересекаются по прямой l , проходящей через эту точку. Если прямая l не пересекается с прямой h (рис.2), то плоскости γ и γ 1 пересекают прямую h в двух различных точках B и C . Тогда в плоскости пересекающихся прямых MB и MC из точки M опущены два перпендикуляра MB и MC на прямую h . Что невозможно. Если прямая l пересекает прямую h в точке D (рис.3), то через прямую h и произвольную точку K , не лежащую на прямых l и h , проведём плоскость ϕ . Эта плоскость пересекает плоскости γ и γ 1 по различным прямым, пересекающимся в точке D , а т.к. прямая h перпендикулярна плоскостям γ и γ 1 , то она перпендикулярна обеим этим прямым. Таким образом, в плоскости ϕ через точку D проходят две различные прямые, перпендикулярные прямой h . Что также невозможно. Пусть теперь точка M лежит на прямой h . В произвольной плоскости, проходящей через прямую h , проведём перпендикуляр MM1 к прямой h . Затем через точку M1 , не лежащую на прямой h , указанным выше способом проведём плоскость, перпендикулярную прямой h . Далее все аналогично рассмотренному случаю.

Источники и прецеденты использования