Задача 86944

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Тетраэдр и пирамида (прочее) ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дана четырёхугольная пирамида SABCD , основание которой – параллелограмм ABCD . Точки M , N и K лежат на ребрах AS , BS и CS соответственно, причём AM:MS = 1:2 , BN:NS = 1:3 , CK:KS = 1:1 . Постройте сечение пирамиды плоскостью MNK . В каком отношении эта плоскость делит ребро SD ?

Решение

Плоскости граней ASD и BSC проходят через параллельные прямые AD и BC , поэтому они пересекаются по прямой, проходящей через точку S параллельно AD и BC (рис.1). Пусть T – точка пересечения этой прямой с продолжением NK , P – точка пересечения прямой TM с ребром SD . Тогда четырёхугольник NKPM – искомое сечение. Пусть F – точка пересечения прямых TN и BC (рис.2). Обозначим BC = a , BF = x . Из равенства треугольников SKT и CKF следует, что

ST = CF = BC + BF = a + x,
а из подобия треугольников SNT и BNF –
ST = BF· = 3x.
Из уравнения a + x = 3x находим, что x = . Тогда ST = . Рассмотрим плоскость грани ASD (рис.3). Пусть L – точка пересечения прямых TM и AD . Из подобия треугольников AML и TMC следует, что
AL = ST· = · = ,
а из подобия треугольников SPT и DPL –
= = = .

Ответ

6:7 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7121