ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 86963
УсловиеСферы с центрами в точках O1 и O2 радиусов 3 и 1 соответственно касаются друг друга. Через точку M , удалённую от O2 на расстояние 3 , проведены две прямые, каждая из которых касается обеих сфер, причём точки касания лежат на прямых по одну сторону от точки M . Найдите угол между касательными, если известно, что одна из них образует с прямой O1O2 угол 45o .РешениеПусть прямая, образующая угол 45o с прямой O1O2 , касается данных сфер в точках B и A соответственно (рис.1). Рассмотрим тетраэдр O1O2AB . Достроим его до параллелепипеда ACBDA1O1B1O2 (рис.2), проведя через противоположные рёбра тетраэдра пары параллельных плоскостей (рёбра AA1 , CO1 , BB1 , DO2 параллельны). Тогда ABПроведём плоскость через данные касательные. Она пересечёт сферы по непересекающимся окружностям, одна из которых находится вне другой, причём данные касательные будут общими внешними касательными, проведёнными к этим окружностям из точки M . Пусть O1' и O2' – ортогональные проекции точек O1 и O2 на проведённую плоскость. Тогда O1' и O2' – центры окружностей, полученных в сечении. Обозначим радиус меньшей окружности O2'A = t . Поскольку AB = AM = 2 Пусть точки O1 и O2 расположены по одну сторону от плоскости сечения (рис.3). Из прямоугольной трапеции O1'O2'O2O1 (рис.4) находим, что Из прямоугольной трапеции O1'O2'AB находим, что Решим уравнение или После возведения в квадрат и упрощений, получим уравнение, из которого находим, что t2 = Ответ2 arctgИсточники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |