Задача 86991

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Тетраэдр и пирамида (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Шар радиуса r касается всех боковых граней треугольной пирамиды в серединах сторон её основания. Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром шара, делится пополам точкой пересечения с основанием пирамиды. Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть сфера радиуса r с центром O касается боковых граней ADB , BDC и ADC в серединах соотвественно C1 , A1 и B1 сторон AB , BC и AC основания ABCD , а плоскость основания пересекает отрезок DO в его середине H . Прямоугольные треугольники OC1D , OA1D и OB1D равны по гипотенузе и катету, поэтому DC1 = DA1 = DB1 . Высота DP треугольной пирамиды A1B1C1D с равными боковыми рёбрами DC1 , DA1 и DB1 проходит через центр окружности, описанной около основания A1B1C1 . Высота OQ треугольной пирамиды A1B1C1O с равными боковыми рёбрами OC1 , OA1 и OB1 проходит через центр окружности, описанной около основания A1B1C1 . Значит, точки P и Q совпадают с точкой H и прямая OD перпендикулярна плоскости ABC . Поскольку H – середина OD , высота C1H прямоугольного треугольника OC1D является его медианой, поэтому DC1 = OC1 = r . Аналогично, DA1 = DB1 = r . Плоскость ABC пересекает данную сферу по окружности, вписанной в треугольник ABC . Эта окружность проходит через точки A1 , B1 и C1 , поэтому она описана около треугольникка A1B1C1 . Так как AB1 = AC1 , AB1 = AC и AC1 = AB , то AC = AB . Аналогично, AB = BC . Значит, треугольник ABC – равносторонний. Из прямоугольного треугольника ODC1 находим, что

C1H = OD = r.
Тогда
CC1 = 3C1H = r, AC1 = C1H tg 60^o = r· ,

AB = 2AC1 = r· ,

S_{Δ ABC} = AB· CC1 = r· · r = · 3r.
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DH = · · 3r· r = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7188