Задача 86992

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Тетраэдр и пирамида (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды – ромб со стороной 2 и острым углом 45^o . Шар радиуса касается каждой боковой грани в точке, лежащей на стороне основания пирамиды. Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба, и найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть шар с центром O касается боковых граней APB , BPC , CPD и APD пирамиды PABCD соответственно в точках K , L , M и N , лежащих на сторонах AB , BC , CD и AD ромба ABCD , в котором BAD = 45^o . Прямоугольные треугольники OKP , OLP , OMP и ONP равны по катету и гипотенузе, поэтому PK = PL = PM = PN . Боковые рёбра PK , PL , PM и PN четырёхугольной пирамиды PKLMN равны, поэтому её высота PQ проходит через центр окружности, описанной около четырёхугольника KLMN . Плоскость основания ABCD пересекает сферу по окружности, вписанной в ромб ABCD . Центр этой окружности – точка пересечения диагоналей ромба, а т.к. эта окружность совпадает с описанной окружностью четырёхугольника KLMN , то Q – точка пересечения диагоналей ромба, т.е. центр вписанной в ромб окружности. Перпендикуляр, опущенный из центра сферы на плоскость основания ABCD , также проходит через центр вписанной окружности ромба ABCD , поэтому прямая PO проходит через точку Q . Пусть BF – высота ромба. Тогда отрезок BF равен диаметру вписанной в ромб окружности. Поэтому

KQ = BF = AB· sin 45^o = ,

S_ABCD = AB2 sin 45^o = 2.
В прямоугольном треугольнике OQK катет KQ равен половине гипотенузы OK , поэтому KOQ = 30^o . Из прямоугольного треугольника PKQ находим, что
PQ = KQ tg PQK = KQ tg KOQ = · = .
Следовательно,
V_PABCD = S_ABCD· PQ = · 2· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7189