Задача 87027

Темы:    [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Объем параллелепипеда ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

На скрещивающихся прямых l и m взяты отрезки AB и CD соответственно. Докажите, что объём пирамиды ABCD не зависит от положения отрезков AB и CD на этих прямых. Найдите этот объём, если AB = a , CD = b , а угол и расстояние между прямыми l и m равны соответственно α и c .

Решение

Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра AB и CD , AD и BC , AC и BD пары параллельных плоскостей. Высота параллелепипеда равна расстоянию между параллельными плоскостями, одна из которых содержит прямую AB , а вторая – прямую CD , т.е. равна расстоянию c между скрещивающимися прямыми l и m . Диагонали грани параллелепипеда, содержащей ребро AB тетраэдра ABCD , равны a и b , а угол между ними равен углу между прямыми l и m , т.е. α . Тогда площадь этой грани равна ab sin α , а объём V1 параллелепипеда равен произведению площади этой грани на высоту, т.е. V1 = abc sin α . Объём V тетраэдра ABCD равен трети объёма параллелепипеда, следовательно,

V = V1 = · abc sin α = abc sin α.

Ответ

abc sin α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7234