Задача 87050

Темы:    [ Максимальное/минимальное расстояние ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны a . Рассматриваются отрезки с концами на прямых AB1 и BC1 , перпендикулярные прямой AC1 . Найдите наименьшую длину таких отрезков.

Решение

Обозначим = , = , = (x = y = z = a) , = α , = β . Тогда

= + , = + + = -α + + β =

= -α ( + ) + + β(- + + ) = -(α +β -1) + β + (β -α).
Из условия задачи следует, что · = 0 . Кроме того,
· = xy cos 60^o = a2, · = · = 0,
поэтому
(-(α +β +1) + β + (β -α ))( + ) = -(α +β -1)a2 + β a2 + (β -α )a2 =

= (-(α +β -1) + β + (β -α ))a2 = (3β -3α +1)a2 = (β -α +)a2 = 0,
откуда β = α - . Таким образом,
= -(2α - ) + (α - ) - ,
значит,
MN2 = (-(2α - ) + (α - ) - )2 =

= (2α - )2a2 + (α - )2a2 + a2-2(2α-)(α-)· a2 =

= (4α 2- + + α 2- α + + - 2α 2+ 2α - )a2 =

= (3α 2- 4α + )a2 = (3(α 2-2· α+-)+)a2 =

= (3(α - )2 - + )a2 = (3(α - )2 - )a2 a2,
причём равенство достигается при α = . Следовательно, наименьшая длина равна .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7263