Задача 87056

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Сфера, касающаяся ребер тетраэдра ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Радиус сферы, касающейся всех рёбер правильного тетраэдра, равен 1. Найдите ребро тетраэдра.

Решение

Достроим данный правильный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Поскольку противоположные рёбра правильного тетраэдра равны и перпендикулярны, построенный параллелепипед – куб. Сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра, вписана в этот куб. Значит, ребро куба равно диаметру сферы, т.е. 2, а ребро тетраэдра равно диагонали грани куба, т.е. 2 .

Ответ

2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7274