Версия для печати
Убрать все задачи

---

Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль вольвокс — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток на 12 больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?

   Решение

---

Башенные часы отбивают три удара за 12 с. В течение какого времени они пробьют шесть ударов?

   Решение

---

Через точки R и E, принадлежащие сторонам AB и AD параллелограмма ABCD и такие, что  AR = ⅔ AB,  AE = ⅓ AD, проведена прямая.
Найдите отношение площади параллелограмма к площади полученного треугольника.

   Решение

---

Делится ли число  10²⁰⁰² + 8  на 9?

   Решение

---

На одной стороне острого угла даны точки A и B. Постройте на другой его стороне точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом.

   Решение

---

У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если а) чёрных граней больше половины; б) сумма площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.

   Решение

---

Дан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4 .

   Решение

Темы:    [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4 .

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 ( AA1 || BB1 || CC1 || DD1 ) – куб с ребром 1, M – произвольная точка пространства. Тогда диагонали AC1 , BD1 , CA1 и DB1 куба равны . Поэтому

MA + MC1 , MB + MD1 , MC + MA1 , MD + MB1 .
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
MA + MC1 + MB + MD1 + MC + MA1 + MD + MB1 4.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования