ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87114
Темы:    [ Многогранные углы ]
[ Неравенства с трехгранными углами ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360o .

Решение

Рассмотрим выпуклый многогранный угол PA1A2 ... An с вершиной P . Обозначим его плоские углы A1PA2 , A2PA3 , ..., AnPA1 через α 1 , α 2 ,..., α n соответственно. Через точки A1 , A2 , ... An ,лежащие на ребрах трёхгранного угла, проведём плоскость. Получим n трёхгранных углов: A1PA2An – с вершиной A1 , A2PA1A3 – с вершиной A2 и т.д., AnPAn-1A1 – с вершиной An . Обозначим углы при вершинах A1 и A2 треугольника A1PA2 через β1 и γ 1 , углы при вершинах A2 и A3 треугольника A2PA3 через β2 и γ 2 , и т.д., углы при вершинах An и A1 треугольника AnPA1 через β n и γ n , а углы при вершинах A1 , A2 , ... , An выпуклого многоугольника A1A2 ... An через ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕ n соответственно. Тогда по теореме о сумме плоских углов трёхгранного угла

β 1 + γ n > ϕ 1, β 2 + γ 1 > ϕ 2, ..., β n + γn-1 > ϕ n.

Сложив почленно эти неравенства, получим, что
β 1 + γ n + β 2 + γ 1 + ... + β n + γn-1 > ϕ 1 + ϕ 2 + ... + ϕ n = 180o(n - 2),

поэтому
α1 + α2 + ... + αn =


= 180o- (β1 + γ1) + 180o - (β2 + γ2) + ... + 180o - (β n + γ n) =


= 180o· n - (β1 + γ1 + β2 + γ2 + ... + βn + γn) < 180o· n - 180o(n - 2) = 360o.

Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7434

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .